Bilangan Pecahan: Pengertian dan Jenis-Jenis
Bilangan pecahan adalah bilangan yang digunakan untuk mewakili bagian dari suatu keseluruhan. Pecahan ditulis dalam bentuk \( \frac{a}{b} \), di mana \( a \) adalah pembilang yang menunjukkan jumlah bagian yang diambil, dan \( b \) adalah penyebut yang menunjukkan jumlah bagian keseluruhan. Contoh pecahan adalah \( \frac{3}{4} \), yang berarti tiga dari empat bagian keseluruhan. Dalam kehidupan sehari-hari, pecahan sering digunakan, seperti saat membagi makanan, menentukan diskon, atau mengukur sesuatu.
Ada beberapa jenis bilangan pecahan. Pecahan biasa adalah pecahan di mana pembilang lebih kecil daripada penyebut, seperti \( \frac{2}{5} \). Pecahan tidak biasa memiliki pembilang lebih besar atau sama dengan penyebut, seperti \( \frac{7}{4} \). Pecahan campuran adalah gabungan bilangan bulat dan pecahan, misalnya \( 1 \frac{3}{4} \). Selain itu, ada pecahan desimal yang dinyatakan dalam bentuk desimal, seperti \( 0.75 \), serta pecahan senilai, yaitu pecahan yang memiliki nilai sama meskipun bentuknya berbeda, misalnya \( \frac{1}{2} \) sama dengan \( \frac{2}{4} \).
Operasi Dasar Pecahan
Pecahan memiliki empat operasi dasar: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan dengan memastikan penyebutnya sama terlebih dahulu. Jika penyebut berbeda, langkah pertama adalah mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) untuk menyamakan penyebut. Contoh:
\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}.
\]
Perkalian pecahan dilakukan dengan mengalikan pembilang satu pecahan dengan pembilang pecahan lainnya dan penyebut dengan penyebut. Misalnya:
\[
\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}.
\]
Untuk pembagian, langkahnya adalah membalik pecahan kedua (resiprokal), lalu mengalikannya dengan pecahan pertama:
\[
\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}.
\]
Penyederhanaan dan Konversi Pecahan
Pecahan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Misalnya:
\[
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}.
\]
Selain itu, pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan membagi pembilang dengan penyebut dan mengambil sisanya sebagai pembilang baru. Sebagai contoh:
\[
\frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}.
\]
Sebaliknya, pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan biasa dengan mengalikan bilangan bulat dengan penyebut, lalu menambahkan hasilnya dengan pembilang. Contoh:
\[
2 \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}.
\]
Pecahan merupakan konsep penting yang menjadi dasar bagi banyak cabang matematika. Pemahaman yang baik tentang pecahan tidak hanya membantu siswa menyelesaikan soal matematika, tetapi juga mempersiapkan mereka untuk menghadapi perhitungan dalam kehidupan sehari-hari. Pecahan juga menjadi fondasi untuk mempelajari topik lebih kompleks, seperti perbandingan, persentase, dan pecahan dalam bentuk desimal.
Materi 1: Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama
Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut sama adalah operasi yang paling sederhana dalam pecahan. Karena penyebutnya sudah sama, kita hanya perlu menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Penyebut tetap tidak berubah. Contoh:
\[
\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}, \quad \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
\]
Langkah-langkahnya:
1. Pastikan penyebutnya sama.
2. Lakukan operasi pada pembilang (penjumlahan atau pengurangan).
3. Jika hasilnya dapat disederhanakan, bagi pembilang dan penyebut dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).
Materi 2: Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Berbeda
Untuk penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda, langkah pertama adalah menyamakan penyebut dengan mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Setelah penyebut sama, lakukan operasi pada pembilang. Contoh:
\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}, \quad \frac{3}{5} - \frac{1}{4} = \frac{12}{20} - \frac{5}{20} = \frac{7}{20}.
\]
Langkah-langkah:
1. Tentukan KPK dari penyebut.
2. Ubah pecahan sehingga penyebutnya sama.
3. Lakukan operasi pada pembilang.
4. Sederhanakan hasil jika memungkinkan.
Materi 3: Perkalian Pecahan
Perkalian pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Contoh:
\[
\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}.
\]
Langkah-langkah:
1. Kalikan pembilang dari kedua pecahan.
2. Kalikan penyebut dari kedua pecahan.
3. Sederhanakan hasil jika memungkinkan.
Jika pecahan campuran, ubah terlebih dahulu menjadi pecahan biasa sebelum melakukan perkalian.
Materi 4: Pembagian Pecahan
Pembagian pecahan dilakukan dengan membalik pecahan kedua (resiprokal) dan mengalikannya dengan pecahan pertama. Contoh:
\[
\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}.
\]
Langkah-langkah:
1. Balik pecahan kedua.
2. Lakukan perkalian seperti pada materi sebelumnya.
3. Sederhanakan hasil jika diperlukan.
Materi 5: Perkalian dan Pembagian Pecahan dengan Bilangan Bulat
Untuk mengalikan atau membagi pecahan dengan bilangan bulat, ubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut 1. Kemudian, lakukan operasi seperti biasa. Contoh:
\[
3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}.
\]
Pembagian:
\[
\frac{7}{3} \div 2 = \frac{7}{3} \div \frac{2}{1} = \frac{7}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{6}.
\]
Materi 6: Soal Cerita tentang Perkalian dan Pembagian Pecahan
Pecahan sering digunakan dalam soal cerita untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Contoh:
- Seorang petani memiliki \( \frac{3}{4} \) hektar lahan, dan ia membagi lahan itu menjadi 5 bagian sama besar. Berapa luas setiap bagian?
\[
\text{Jawab: } \frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}.
\]
- Sebuah resep membutuhkan \( \frac{2}{3} \) cangkir gula. Jika dibuat 3 kali lipat, berapa gula yang diperlukan?
\[
\text{Jawab: } 3 \times \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ cangkir}.
\]
Soal cerita membantu siswa memahami aplikasi pecahan dalam konteks nyata. Oleh karena itu, pemahaman operasi dasar pecahan sangat penting.
Materi 1: Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama